Una logica intollerabile

Ti propongo un gioco nel quale puoi facilmente vincere una moneta.

Ti presento tre scatole chiuse, identiche. Una di queste contiene una moneta mentre le altre due hanno un sasso. Soltanto io so quale delle tre scatole contiene la moneta perché le ho confezionate io stesso. Il gioco consiste nel farti scegliere una scatola. Se trovi la moneta, è tua. Ma io, che sono troppo generoso, ti aiuterò proponendoti la modalità seguente.

Come prima cosa ti chiedo di scegliere una delle tre scatole, senza però aprirla subito. Io, per aiutarti, apro una delle due rimaste e, dato che so dove si trova la moneta, apro quella che contiene sicuramente un sasso e te lo faccio vedere. In una delle due scatole ancora chiuse c’è sicuramente la moneta e nell’altra il secondo sasso.

Ora ti chiedo: “Puoi decidere se mantenere la tua scelta iniziale, oppure se cambiare, scegliendo l’altra scatola rimasta chiusa”.

Sorge spontanea una domanda: pensi di avere maggiori probabilità di vincere la moneta conservando la scelta iniziale oppure cambiandola?

Ebbene… mi sembra del tutto evidente che le probabilità di vincere la moneta siano sempre una su due, cioè il 50%, sia nel caso in cui tu mantenga la scelta, sia nel caso in cui tu decida di cambiare, dato che in una delle due scatole rimaste chiuse c’è sicuramente  la moneta, e nell’altra sicuramente il sasso.
Se la pensi come me, hai un cervello normale. Credo che quasi tutti la pensino in questo modo.

Eppure… se non la pensi come me, potresti essere un genio! Infatti la verità è che conviene sempre cambiare la scelta iniziale, perché in questo caso le probabilità di trovare la moneta sono  maggiori del 50%!

Nessun trucco, è una questione governata rigorosamente dalla matematica delle probabilità.

Il modo migliore per rendersene conto è provare tutte le possibilità, contando il numero di vincite, in un caso o nell’altro. Non c’è dubbio: se sei un conservatore avrai una sola probabilità su tre di vincere la moneta. Se cambi sempre, e in questo caso ti chiamerei innovatore, ne hai addirittura due su tre!

A questo punto proviamo le varie possibilità. I curiosi insofferenti leggano pure le righe che seguono. I curiosi pazienti prendano una moneta e due sassi e provino personalmente: avranno miglior soddisfazione. I non curiosi hanno sbagliato pagine di lettura.


 

Disponiamo la moneta e i due sassi in uno dei tre modi possibili (tutti equivalenti) e, per capirci meglio, numeriamo le scatole. Ad esempio, una delle disposizioni è questa:

Scatola 1: moneta. Scatola 2: sasso. Scatola 3: sasso.

Facciamo che tu sia il conservatore; hai tre modi possibili:

Se scegli la 1 io apro la 2 o la 3 (è indifferente);  vinci!

Se scegli la 2 io apro la 3; perdi!

Se scegli la 3; io apro la 2; perdi!

In totale, il conservatore vince una volta su tre (33,3%).

Ora ti trasformi in innovatore.

Se scegli la 1 io apro la 2 o la 3; tu scegli la 2 o la 3 e comunque perdi!

Se scegli la 2 io apro la 3; tu scegli la 1 e vinci!

Se scegli la 3 io apro la 2; tu scegli la 1 e vinci!

In totale, l’innovatore vince due volte su tre (66,6%).

Il conservatore non accetta l’aiuto. Di fatto, lui sceglie una possibilità su tre. Che ci sia io ad aiutarlo oppure no, cosa cambia? Nulla, perché ha già scelto. L’innovatore invece si fa aiutare e la sua seconda scelta non è casuale: dipende totalmente dal mio aiuto, aumentando la sua probabilità di vincere.

Capito il trucco? Direi che è intollerabilmente logico.

Questo problema matematico era noto già nel 1889 come il Paradosso della tre scatole di Bertrand perché il matematico francese Joseph Louis François Bertrand lo aveva proposto nel suo libro Calcul des Probabilités (1889).