Se pieghiamo un foglio di carta 56 volte, qual è lo spessore del pacchetto che si ottiene?

Chiedetevelo, e chiedetelo anche ai vostri amici dai quali, a  meno che non abbiano un po’ di occhio matematico, otterrete delle risposte del tipo: “5 centimetri e 6 millimetri” oppure “56 centimetri” e, nei casi di maggiore creatività, “5 millimetri e qualcosa” e i più temerari risponderanno “5 metri e 60 centimetri”.

Se si analizza matematicamente il problema il risultato è sconvolgente quanto quello della Storia della Fine del Mondo oppure della storia della scacchiera del visir.

Supponiamo, per semplicità, che il foglio da piegare abbia lo spessore di un decimo di millimetro. Se si piega una volta, lo spessore diventa di quattro decimi di millimetro; se si piega ancora diventa otto decimi, la terza volta sarà sedici decimi cioè poco più di un millimetro e mezzo ma, procediamo nella serie (gli spessori sono espressi in decimi di millimetro):

nessuna piega: 1
1 piega: 2
2 pieghe: 4
3 pieghe: 8
4 pieghe: 16
5 pieghe: 32
6 pieghe: 64
7 pieghe: 128
8 pieghe: 256
9 pieghe: 512
10 pieghe: 1024
11 pieghe: 2048
12 pieghe: 4096
13 pieghe: 8192
14 pieghe: 16384

Alla dodicesima piega, lo spessore della carta supera già il metro e mezzo (16.384 decimi di millimetro = 1,6 metri circa). Infatti nessuno arriva a piegare un normale foglio di carta (in formato A4) per quattordici volte, ma nemmeno sette volte! La difficoltà diventa subito evidente: il pacchetto si rimpicciolisce e si ispessisce rapidamente e al settimo tentativo non si riesce più a piegare con le mani e forse nemmeno aiutandosi con una pinza.

Ma noi fingiamo di avere un foglio molto grande e di poter continuare a piegarlo. Vi sarete già accorti che, ad ogni nuova piega, lo spessore diventa doppio del precedente e quindi usiamo le potenze di 2 e otteniamo quella che i matematici chiamano una “progressione geometrica”:

2¹ = 2  (1 piega)
2² = 4 (2 pieghe)
2³ = 8 (3 pieghe)
2⁴ = 16 (4 pieghe)
2⁵ = 32 (5 pieghe)
…..
e così via; perciò, senza scrivere tutta la sequenza, arriviamo subito alla risposta della nostra domanda iniziale con questo calcolo:

2⁵⁶ =  72.057.594.037.927.936 (56 pieghe)

E’ un numeraccio, ma si tratta sempre di decimi di millimetro! Quindi facciamo un’equivalenza in chilometri:

72.057.594.037.927.936 decimi di millimetro = 7.205.759.403,7 chilometri

E’ ancora un numeraccio! Il nostro pacchetto è spesso poco più di sette miliardi di chilometri!

E’ un’altezza difficile da immaginare. Il Sole dista dalla Terra solo centocinquanta milioni di chilometri! Sette miliardi di chilometri sono paragonabili alla distanza media che ci separa da Plutone. Niente male, con la carta abbiamo costruito una scaletta per attraversare tutto il Sistema Solare! Alla faccia della NASA!

Ma c’è un piccolo problema pratico, a parte quello della fatica per arrampicarsi fin lassù. Il foglio si rimpicciolisce troppo rapidamente e quindi la nostra scaletta sarà troppo sottile e fragile. Quindi partiamo da un foglio di carta molto grande, diciamo di un chilometro di lato, e calcoliamo lo larghezza della scaletta di carta che otterremo dopo averlo piegato per 56 volte.

1 piega: 0,5 km
2 pieghe: 0,25 km
3 pieghe: 0,125 km
… ops… siamo di fronte ad un’altra progressione da incubo. Questa volta la formula di calcolo è diversa:

1/2¹ = ½  =0,5 (1 piega)
1/2² = ¼ =0,25 (2 pieghe)
1/2³ = 1/8  =0,125 (3 pieghe)
1/2⁴ = 1/16 =0,0625 (4 pieghe)
1/2⁵ = 1/32 =0,03125 (5 pieghe)

…

Ora andiamo subito al risultato finale:

1/2⁵⁶ = 0,00000000000000001 chilometri = 0,00000000001 millimetri, cioè un “decimiliardesimo” di millimetro. Anche questa volta si fa fatica ad immaginare. Prendiamo un millimetro e dividiamolo dieci miliardi di volte…

Ora mi chiedo: quant’è grande un atomo? Il suo diametro si aggira intorno a qualche miliardesimo di millimetro, perciò la  “scaletta di carta” è davvero molto, molto sottile, più sottile di un atomo.

In conclusione, la nostra arrampicata verso Plutone si fa sempre più difficile e rischiosa…