Come contare l’infinito

Il nativo africano e il prof.Cantor affrontano lo stesso problema: confrontare numeri che sono oltre la loro capacità di calcolo.

Nella sezione precedente abbiamo discusso di numeri, alcuni di essi molto grandi. Sebbene questi giganti numerici, come ad esempio il numero di chicchi di frumento richiesti da Sissa Ben siano incredibilmente grandi, sono comunque finiti e, concedendo un tempo abbastanza lungo, qualcuno può riuscire a scriverli fino all’ultima cifra. Ma ci sono alcuni numeri infiniti, più grandi di qualsiasi numero che possiamo scrivere, qualunque sia il tempo a nostra disposizione. Così il “numero di tutti i numeri”, è chiaramente infinito, come pure è infinito il “numero di punti geometrici che formano un segmento”. C’è qualcosa che possiamo dire a proposito di tali numeri oltre al fatto che sono infiniti, oppure è possibile, ad esempio, confrontare due diversi infiniti e vedere se uno di essi è più “grande” dell’altro? Ha un senso chiedersi se è più grande il “numero di tutti i numeri” o il “numero dei punti di un segmento”? Domande come questa, che in un primo momento sembrano fantastiche, furono prese in considerazione per la prima volta dal famoso matematico Georg Cantor, il quale può essere considerato il fondatore dell'”aritmetica dell’infinito”. Se si vuol parlare di infiniti più grandi e più piccoli si deve affrontare il problema del confronto tra numeri che non possiamo scrivere e nemmeno nominare. Ci si trova nella stessa situazione di un ottentotto il quale, ispezionando il suo scrigno, vuol sapere se sono di più le perle di vetro o le monete di rame.  Come ricorderete, l’ottentotto non riesce a contare oltre il tre. Dovrà rinunciare al confronto tra perle di vetro e monete di rame solo perché non le sa contare? Niente affatto! Con un po’ di arguzia, troverà la risposta confrontando perle e monete pezzo a pezzo. Disporrà una perla a fianco di una moneta, un’altra perla a fianco di un’altra moneta, e così via… se esaurisce le perle mentre ci sono ancora monete da disporre, le perle saranno di meno delle monete e viceversa, e se le perle e le monete si esauriscono contemporaneamente vuol dire che sono in numero uguale.

Questo metodo è esattamente lo stesso proposto da Cantor per confrontare due diversi infiniti: si possono appaiare gli oggetti di due insiemi infiniti in modo tale che ciascun oggetto del primo insieme si accoppi con un oggetto del secondo e se nessun oggetto rimane spaiato i due infiniti sono uguali. Se invece rimangono spaiati alcuni oggetti del primo insieme, diciamo che l’infinito del primo insieme è più grande o, potremmo dire più forte, dell’infinito del secondo.

Questo è evidentemente, il più ragionevole e di fatto l’unico metodo che si può usare per comparare tra loro quantità infinite, ma quando ci accingeremo ad applicarlo, dovremo essere preparati a qualche sorpresa.

Prendiamo come esempio l’insieme infinito di tutti i numeri pari e quello di tutti i numeri dispari. Si intuisce subito che ci sono tanti pari quanti dispari e questo fatto è in accordo con la regola citata, dato che è possibile costruire la corrispondenza uno a uno di questi numeri:

corrispondenzaunoauno

In questa tabella c’è un numero dispari per ogni numero pari e viceversa; di conseguenza i due infiniti sono uguali. Sembra semplice e del tutto naturale!

Ma, aspettate un momento. Quale pensate sia più grande: il numero di tutti i numeri, sia pari che dispari, oppure il numero dei numeri pari soltanto? Si direbbe che il numero di tutti i numeri è più grande perché l’insieme di tutti i numeri contiene sia i numeri pari che i numeri dispari. Ma questa è soltanto una vostra impressione e, al fine di trovare la risposta giusta dobbiamo utilizzare la famosa regola di comparazione. Scoprirete con sorpresa di avere torto. Infatti, ecco la tavola della corrispondenza uno a uno tra tutti i numeri e i numeri pari:

corrispondenzaunoauno2

In accordo con la nostra regola di comparazione di infiniti, dobbiamo concludere che il numero infinito di numeri pari è uguale al numero infinito di tutti i numeri. Suona paradossale dato che i numeri pari rappresentano solo una parte di tutti i numeri, ma dobbiamo ricordare che qui stiamo operando con numeri infiniti, e dobbiamo essere preparati a scoprire nuove proprietà.

Di fatto, nel mondo dell’infinito una parte può essere uguale al tutto! Si può illustrare meglio la questione con un esempio preso da uno dei racconti riguardanti il famoso matematico tedesco David Hilbert. Si racconta che nelle sue lezioni sull’infinito, egli espose le proprietà paradossali dei numeri infiniti con queste parole:

Immaginiamo un hotel con un numero finito di camere e assumiamo che siano  tutte occupate. Arriva un nuovo ospite e chiede una camera. “Mi dispiace – dice il proprietario – ma tutte le camere sono occupate”.

Ora immaginiamo un hotel con un numero infinito di camere e tutte occupate. Anche qui arriva un cliente e chiede una camera. “Naturalmente! – esclama il proprietario, il quale sposta gli ospiti che occupano la stanza n.1 nella stanza n.2, quelli della n.2 nella n.3, gli ospiti della n.3 nella n.4 e così via.

Alla fine il nuovo cliente riceve la stanza n.1 diventata libera in seguito a questi spostamenti.

Immaginiamo ora un nuovo hotel con un infinito numero di camere, tutte occupate, e un infinito numero di nuovi ospiti che entrano per chiedere camere.

“Certamente signori – dice il proprietario – aspettate solo un minuto”. Il proprietario sposta gli ospiti della camera n.1 nella n.2, quelli della n.2 nella n.4, gli ospiti della n.3 nella n.6 e avanti così…

In questo modo tutte le camere dispari si liberano e i nuovi infiniti ospiti potranno accomodarsi.

Non è facile immaginare la situazione descritta da Hilbert ma questo esempio certamente ci fa capire che operando con numeri infiniti si incontrano proprietà del tutto diverse da quelle a cui siamo abituati nell’aritmetica ordinaria.

Seguendo la regola di comparazione degli infiniti di Cantor possiamo provare anche che il numero di tutte le normali frazioni aritmetiche, come ad esempio \frac{3}{7} o \frac{735}{8} è uguale al numero di tutti i numeri interi. Infatti si può costruire una riga di tutte le frazioni seguendo la regola seguente: si scrivono prima tutte le frazioni in cui la somma del numeratore e del denominatore sia uguale a 2; c’è una sola frazione di questo tipo ed è \frac{1}{1}; quindi si scrivono tutte le frazioni la cui somma è 3: \frac{2}{1} e \frac{1}{2}. Quindi tutte quelle con somma 4: \frac{3}{1},\frac{2}{2} e \frac{1}{3}. E avanti così. Si otterrà una infinita sequenza contenente tutte le possibili frazioni che possiamo immaginare. Ora, al di sopra di questa sequenza, scriviamo la sequenza dei numeri interi e otteniamo la corrispondenza uno a uno tra le infinite frazioni e gli infiniti interi. Quindi il loro numero è lo stesso.

“Bene, è tutto molto bello – potreste dire – ma ciò non significa semplicemente che tutti gli infiniti sono uguali tra loro? E se questo è vero, qual è l’utilità di confrontarli?”

No, questo non è vero, ed è facile trovare un infinito più grande dell’infinito di  tutti i numeri interi e di tutte le frazioni aritmetiche.

Infatti, se si esamina la questione iniziale di questo capitolo riguardo il confronto tra il numero dei punti di un segmento con il numero di tutti i numeri interi, si scopre che questi due infiniti sono diversi. Ci sono molti più punti su un segmento che numeri interi o numeri frazionari. Per dimostrare questa affermazione cerchiamo di stabilire una corrispondenza uno a uno tra i punti di un segmento lungo un centimetro, e la sequenza dei numeri interi.

Ciascun punto di un segmento è caratterizzato dalla sua distanza rispetto ad uno dei due estremi. Questa distanza può essere scritta per mezzo di un numero minore di 1 formato da infinite cifre decimali, come ad esempio 0.7350624780056… oppure 0.38250375632… Quindi dobbiamo comparare il numero di tutti gli interi con il numero di tutti i possibili numeri dotati di infinite cifre decimali. Ora, qual è la differenza tra un numero dotato di infinite cifre decimali e le normali frazioni?

Ogni frazione può essere convertita in un numero decimale dividendo il numeratore per il denominatore.  I numeri decimali che si ottengono possono essere limitati (come ad esempio \frac{1}{4} = 0,25 ) oppure illimitati periodici, cioè formati da gruppi di cifre che si ripetono all’infinito. Così ad esempio:

\frac{2}{3} = 0,6666666... = 0,(6)

oppure:

\frac{3}{7} = 0,428571\ 428571\ 428571... = 0,(428571)Abbiamo già dimostrato che il numero di tutte le frazioni è uguale al numero di tutti i numeri interi; quindi anche il numero di tutti i numeri decimali ottenuti dalle frazioni è uguale al numero di tutti i numeri interi. Ma i punti di un segmento non sono necessariamente rappresentati da numeri decimali limitati o periodici che siano: in gran parte dei casi sarà necessario rappresentare le distanze dei punti per mezzo di numeri che possiedono un numero infinito di cifre decimali senza alcuna periodicità [chiamati numeri irrazionali, cioè numeri che non derivano da una divisione]. Ed è facile dimostrare che in questo caso non è possibile costruire una corrispondenza uno a uno.

Supponiamo che qualcuno pretenda di aver costruito una simile tabella. Essa dovrebbe apparire all’incirca così:

corrispondenzaunoauno3

Ovviamente, essendo impossibile scrivere l’infinita sequenza dei numeri interi associati a numeri con infinite cifre decimali, ne deriva che l’autore di questa tabella deve aver seguito una certa regola (simile a quella che abbiamo usato per costruire la corrispondenza tra numeri interi e frazioni). Questa pretesa regola deve garantire che qualsiasi numero decimale infinito che si possa immaginare, debba prima o poi comparire nella tabella.

Ebbene, non è difficile dimostrare che ogni pretesa di questo tipo è dissennata, per il fatto che noi possiamo sempre scrivere un numero di infinite cifre decimali che non sia contenuto in questa tavola. Come possiamo farlo? Molto semplice. Scrivi il numero che abbia la prima cifra decimale diversa dalla prima del primo numero della tavola, e che abbia la seconda cifra diversa dalla seconda del secondo numero  della tavola, e che abbia la terza cifra diversa dalla terza del terzo numero, e così via. Il numero che ottieni potrebbe essere qualcosa di simile a questo:

corrispondenzaunoauno4

Questo numero non si troverà nella tavola, non importa fino a che punto la scorri per cercarlo. Infatti, anche l’autore della tavola ti dicesse che questo numero decimale che hai scritto si trova ad esempio in corrispondenza del numero 137 della sua tavola, tu gli puoi rispondere immediatamente: “No, non è la stessa frazione, perché la centotrentasettesima cifra decimale del tuo numero è diversa dalla centotrentasettesima cifra del mio”.

Così è impossibile stabilire una corrispondenza uno a uno tra i punti di un segmento e i numeri interi; ciò significa che l’infinito dei punti del segmento è maggiore, o più forte, dell’infinito di tutti i numeri interi o frazionari.

Abbiamo parlato di un segmento lungo un centimetro, ma è facile mostrare adesso che, secondo la regola della nostra “aritmetica infinita”, la stessa cosa è valida per qualsiasi segmento di qualsiasi lunghezza. Infatti un segmento di un centimetro possiede lo stesso numero di punti di un segmento di un metro o di uno lungo un chilometro.

Per dimostrare questo, osserviamo la seguente figura in cui si confrontano due segmenti di diversa lunghezza, AB e AC.

confrontodisegmenti

Allo scopo di stabilire una corrispondenza uno a uno tra i punti di questi due segmenti, per ciascun punto di AB tracciamo una retta parallela alla retta BC. Queste parallele accoppieranno tutti punti del segmento AB con tutti punti del segmento AC che essa interseca. Così, ad esempio, accoppierà F con F’, E con E’ e D con D’. In accordo con la regola di Cantor, i numeri di punti dei due segmenti saranno uguali.

Un risultato dell’analisi dell’infinito ancora più impressionante è dato dalla seguente affermazione: il numero dei punti di un piano è uguale al numero dei punti di un segmento. Per dimostrarlo consideriamo i punti di un segmento AB lungo un centimetro e i punti contenuti nel quadrato CDEF.

quadratoCDEF2

Supponiamo che la posizione di un certo punto del segmento sia dato da un certo numero, ad esempio 0,75120386… Da questo numero possiamo costruire altri due numeri, uno ottenuto selezionando solo le cifre di posto dispari e un altro con le cifre di posto pari. Otteniamo 0,7108… e 0,5236…

Si misurano ora le distanze date da questi due numeri lungo il lato orizzontale e lungo quello verticale. Il punto ottenuto  può essere considerato il punto corrispondente a quello da cui siamo partiti, che si trova sul segmento AB. Viceversa, consideriamo un punto della superficie del quadrato che può essere descritto ad esempio con questi due numeri: 0,4835… e 0,9907… La posizione del punto corrispondente ad esso sul segmento si ottiene mettendo assieme i due numeri con la regola inversa alla precedente: 0,49893057…

E’ chiaro che questo procedimento stabilisce la relazione uno a uno tra due insiemi di punti. Ogni punto del segmento avrà un corrispondente punto nel quadrato, ogni punto nel quadrato avrà un corrispondente punto nel segmento e nessun punto rimarrà escluso. Quindi, in accordo con il criterio di Cantor, il numero infinito di punti contenuti nel quadrato corrisponde al numero infinito di punti del segmento.

Nello stesso modo si può dimostrare che il numero di punti contenuti in un cubo è uguale al numero di punti del quadrato e a quelli del segmento. Per ottenere questo, dobbiamo soltanto suddividere le cifre decimali in tre parti e usare i tre nuovi numeri ottenuti per definire la posizione del punto corrispondente all’interno del cubo. Inoltre, come nel caso del confronto tra due segmenti di lunghezza diversa, il numero di punti contenuti in un quadrato o in un cubo sarà sempre lo stesso indipendentemente dalle loro dimensioni.

Sebbene il numero di tutti i punti geometrici sia più grande del numero di tutti gli interi e dei numeri razionali, non è ancora il numero più grande che i matematici conoscano. Infatti, è stato scoperto che la varietà di tutte le possibili curve, comprese quelle dalle forme più strane, forma un insieme più grande di quello di tutti i punti geometrici e perciò deve essere descritto come il terzo della sequenza dei numeri infiniti.

Secondo George Cantor, il creatore dell'”aritmetica dell’infinito”, i numeri infiniti si indicano con la lettera ebraica א (aleph) seguita in pedice da un numero che indica l’ordine di infinito.

Ora, la nuova sequenza dei numeri, inclusi quelli infiniti, è la seguente:

sequenza

e possiamo dire “ci sono aleph1punti in un segmento”, oppure che “ci sono aleph2diversi tipi di curve” allo stesso modo in cui diciamo che “ci sono 52 carte in un mazzo” oppure che “nel mondo ci sono 7 continenti”.

I primi tre numeri infiniti

I primi tre numeri infiniti

Concludendo il nostro discorso sui numeri infiniti, possiamo dire che questi numeri superano rapidamente ogni possibile insieme al quale essi possono essere applicati. Sappiamo che alephrappresenta il numero di tutti i numeri interi, aleph1è il numero di tutti i punti geometrici e aleph2il numero di tutte le curve, ma nessuno ancora è in grado di concepire un qualche tipi di insieme infinito che possa essere descritto da aleph3. Sembra che i primi tre numeri infiniti siano già più che sufficienti per contare qualsiasi cosa possiamo pensare.

Possiamo concludere che attualmente ci troviamo in una posizione esattamente opposta a quella del nostro vecchio amico ottentotto che ha molti figli ma non può contare oltre al tre!

 

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